Top
Panel główny
Portal
Powitanie
Poglądy
Ciasteczka
Kontakt
Katolicyzm
Droga krzyżowa
Tawiusz
Praktyczne
Notacje
Unikod
Programy
Muzyka
Dźwięki
Terminy
Gitara
Gry
Mafia
Argentynopol
Szachowe
Galeria
Zadania
Suchary
Download

data ostatniej zmiany tej podstrony: 9 VII 2016 r.

Notacje

Specjalne notacje służą głównie zapisywaniu tekstów w prostszy i zwięźlejszy sposób. Dzięki temu można je pisać szybciej, co przydaje się np. przy robieniu notatek. Czasem te notatki są nawet czytelniejsze, ale dla niewtajemniczonych osób mogą być trudne do rozszyfrowania.

Poniższy wykaz zawiera używane przeze mnie notacje okołomatematyczne, również te, które nie pokrywają się z cudzymi konwencjami.

Logiczne

Pierwszą klasą notacji są notacje logiczne skracające zapis rozumowań będących ciągiem wnioskowań. Do opisu przejścia od przesłanek do wniosków służą symbole ∴ jako „więc” oraz ∵ jako „bo” zaczerpnięte z unikodu. Dodatkowo ∣∴ zastępuje „zauważmy, że”, a ⋮ służy do rozdzielania osobnych zdań w tej samej linii. W treściach zadań ?∴ zastępuje „udowodnij”.

Słowa „załóżmy, że” zastępuje \(!\), zaraz po którym następuje zakładane zdanie. Następnie może pojawić się \(†\) oznaczający otwarcie bloku, w obrębie którego obowiązuje założenie, a zamknięcie bloku oznacza się przez \(‡\). Zamknięcia \(n\) bloków można zastąpić przez \(‡\,^n\). Jeśli otwarcie bloku się nie pojawi, to założenie obowiązuje do końca aktualnego bloku. Znaki otwarcia i zamknięcia bloku można również uwydatnić lub zastąpić odpowiednio przez zwiększenie i zmniejszenie wcięcia tekstu.

Słowa „weźmy dowolne” zastępuje \(\underline{\forall\,}\) przez związek z regułą wprowadzania kwantyfikatora ogólnego, a „weźmy · takie, że” zastępuje \(\underline{\exists}\) przez związek regułą eliminacji kwantyfikatora szczegółowego. Zakres obowiązywania wprowadzonych zmiennych oznacza się tak samo, jak przy wprowadzaniu założenia. Dodatkowo tak samo używany jest symbol \(Ͷ\) zastępujący słowo „niech” do nazywania jednoznacznie określonych obiektów.

Symbol ⚡ oznacza sprzeczność, fałsz, a przez analogię symbol ☼ oznacza tożsamość, prawdę.

Zdanie poprzedzone ? oznacza rozważanie tego zdania, więc rola symbolu ? w tym miejscu sprowadza się do komentarza.

Zdarza się, że chcielibyśmy zapisać ciąg wynikań. Przykładowo z \(A\) wynika \(B\), a z \(B\) wynika \(C\). Zapis \(A ⇒ B ∧ B ⇒ C\) jest prawidłowy, ale wymaga powtórzenia \(B\), co jest niekorzystne, gdy jest ono długim wyrażeniem. Natomiast zapis \(A ⇒ B ⇒ C\) oznacza \(A ⇒ (B ⇒ C),\) co ma inne wartościowanie dla \(A=1,\; B=0,\; C=1,\) czyli znaczy co innego. Do tego użyjemy symbolu \(\overline{\underline{>}}\), który pozwala opisywać ciąg relacji wynikania tak, jak relacyjny symbol ≡ pozwala opisać ciąg równoważności. Należy uważać, aby nie pomylić go z Σ.

\(?\;\forall n\in\!\mathbb{N}\;\; 6\mid(n^3+17n) \)
\(6\mid 0\,^3 + 17\cdot 0\)
\(\underline{\forall\,}\,k\in\mathbb{N}\;†\)
\(\;\;\;\;!\;6\mid(k\,^3+17k)\;†\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;(k+1)\,^3+17(k+1)=k\,^3+17k+3k(k+1)+18\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;6\mid(k\,^3+17k) \wedge 6\mid 3k(k+1)+18 ∴ 6\mid(k+1)\,^3+17(k+1)\)
\(‡^2∴ \forall k\in\mathbb{N}\;\; 6\mid(k\,^3+17k) \Rightarrow 6\mid(k+1)\,^3+17(k+1)\)
\(6\mid 0\,^3 + 17\cdot 0 \wedge \forall k\in\mathbb{N}\;\; 6\mid(k\,^3+17k) \Rightarrow 6\mid(k+1)\,^3+17(k+1)∴\)
\(∴\forall n\in\!\mathbb{N}\;\; 6\mid(n^3+17n)\)

\(x\in\mathbb{C} \;\;\overline{\underline{>}}\;\; x\in\mathbb{R} \;\;\overline{\underline{>}}\;\; x\in\mathbb{Q}\)

Operatory wielomianowe

Kiedyś używałem operatora \(\check{x}\) do wyrażenia wielomianu zmiennej \(x\) za pomocą jego współczynników. Wymieniane są po nim między nawiasami w kolejności począwszy od tego przy najwyższej potędze do potęgi zerowej bez pomijania współczynników zerowych. Jeśli umieszczenie \(\check{\phantom{x}}\) nad wyrażeniem traktowanym jako zmienna wielomianu budziłoby wątpliwości, to można to wyrażenie zamknąć w nawiasach kwadratowych, a \(\check{\phantom{x}}\) umieścić nad nawiasem otwierającym.

Analogicznie stosowałem operator \(\hat{x}\), aby zapisać współczynniki w odwrotnej kolejności do \(\check{x}\) tj. kolejności rosnącej. Jednak ze względu na możliwą kolizję oznaczeniem współczynników szeregu Fouriera wprowadzona została nowa notacja.

Symbol \( \mathcal{E}_x \) służy do oznaczenia bazy standardowej wielomianów o zmiennej \(x\), czyli wektor o wyrazach \(1\), \(x\), \(x^2\) itd. Zatem przyjmując konwencję, że niewypisane współrzędne wektora to zera, iloczyn skalarny wektora współczynników wielomianu (od najniższej potęgi) z bazą jest właśnie tym wielomianem. Aby wymienić je w kolejności odwrotnej, można użyć górnego indeksu \({}^\text{R}\) za wektorem współczynników.

Uogólniając tę notację przez uogólnienie iloczynu skalarnego na macierze można przedstawić wielomiany dwóch zmiennych \(x\) i \(y\), gdyż elementy macierzy \( \mathcal{E}^\text{T}_x\mathcal{E}_y \), gdzie górny indeks \( {}^\text{T} \) oznacza transpozycję, stanowią bazę ich przestrzeni.

W podobny sposób, jak w starej notacji, operator \(x̊\) pozwala scharakteryzować wielomian poprzez wymienienie jego miejsc zerowych. Wielokrotne pierwiastki można wymienić wielokrotnie lub wypisać nad nimi ich krotności.

W Matematyce Konkretnej R. Grahama, D. Knutha i O. Patashnika stosowane jest oznaczenie \([x^n]f(x)\) na współczynnik stojący przy \(x^n\) w rozwinięciu w szereg Maclaurina funkcji \(f(x)\).

\([1,0,2,0,3]^\text{R}\circ\mathcal{E}_x\) = \(\check{x}\,(1,0,2,0,3)\) = \([3,0,2,0,1]\circ\mathcal{E}_x\) = \(\hat{x}\,(3,0,2,0,1)\) = \(x^4+2x^2+3\) = \([1,2,3]^\text{R}\circ\mathcal{E}_{x^2}\) = \(\check{[}\,x^2\,](1,2,3)\)
\([1,0,-1]^\text{R}\circ\mathcal{E}_x\) = \(\check{x}\,(1,1)(1,-1)\) = \(x̊\,(-1,1)\)
\([x^2][1,3,3,1]^\text{R}\circ\mathcal{E}_x\)=\(3\)
\(\left(\begin{smallmatrix}n\\k\end{smallmatrix}\right)\)=\([x^{\,k}](x+1)^n\)

Szczególne zbiory

Symbole \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) oznaczają odpowiednio zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych, które tworzą wstępujący ciąg relacji zawierania.

\(\mathbb{R}^{\,*}\) oznacza \(\mathbb{R}\smallsetminus\{0\}\) przez nawiązanie do multyplikatywnej grupy liczb rzeczywistych, a \(\overline{\mathbb{R}}\) to domknięty zbiór liczb rzeczywistych i równa się \(\mathbb{R}\cup\!\left\{-\infty, \infty\right\}\). Dalej \(\mathbb{R}_{\,+}, \mathbb{R}_{\,-}\) oznaczają odpowiednio zbiory liczb rzeczywistych dodatnich i ujemnych, podobnie \(\mathbb{R}_{\,\oplus}, \mathbb{R}_{\,\ominus}\) zbiory liczb rzeczywistych nieujemnych i niedodatnich, a \(\mathbb{N}_{\,+}\) równa się \(\mathbb{N}\smallsetminus\{0\}\).

Dodatkowo symbol kreski z cedyllą przypominający dwójkę odbitą względem poziomej prostej oznacza liczbę \(\frac{1}{2}\).

Funkcje specjalne

Podobnie, jak przez \(\mathcal{P}(A)\) powszechnie oznaczamy zbiór potęgowy zbioru \(A\), czyli zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(A\), symbol \(\mathcal{P}_n(A)\) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów \(n\)-elementowych.

Zapis \(X_{\,a}^{\,b}\) jest skrótem od \(X\cap[a,b]\) ułatwiającym zapisywanie np. przedziałów liczb całkowitych. Należy przy tym uważać na pomylenie tego zapisu z potęgowaniem zbioru w sensie iloczynu kartezjańskiego.

Symbol \(n\Sigma k\) oznacza sumę kolejnych liczb naturalnych od \(n\) do \(k\), a \(n\Pi k\) odpowiednio iloczyn kolejnych liczb. Matematyka Konkretna definiuje potęgę ubywającą \(n^{\underline{k}}\) równą \((n-k+1)\Pi n\) i potęgę przyrastającą \(n\,^{\overline{k\;}}\) równą \(n\Pi (n+k-1)\).

Wiele funkcji zaczerpniętych z języków programowania zorientowanych funkcyjnie znajduje skróty notacyjne: \(\verb|sum|\,X=\sum X\), \(\verb|product|\,X=\prod X\), \(\verb|map|(f,X)=f[X]\) z tą różnicą, że działają one zwykle na zbiorach, a nie na listach. Należy uważać na pomylenie oznaczenia obrazu zbioru z ilorazami różnicowymi funkcji.

Najbardziej znany operator ternarny \(\verb|if then else|\) pozwala się zapisać jak w języku C++ jako \(a\,?\,b:c\), gdzie \(a\) jest warunkiem, \(b\) jest wartością wyrażenia, gdy warunek jest prawdziwy, i \(c\), gdy fałszywy.

\(\left(\begin{smallmatrix}n\\k\end{smallmatrix}\right)= \left|\mathcal{P}_k(\mathbb{N}_{\,1}^{\,n})\right|\)
\((ab+ac+bc)=\sum\{ab,ac,bc\}=\sum\{\prod\{a,b\},\prod\{a,c\},\prod\{b,c\}\}=\)
\(=\sum\prod[\{\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\}]=\sum\prod[\mathcal{P}\,\!_2\{a,b,c\}]\)
\(1>2\,?\,-12 : 12=12\)

Operatory innych priorytetów

Trzeba zauważyć, że kolejność wykonywania działań jest umową językową nie wynikającą bezpośrednio z własności obiektów matematycznych. Zdarza się, że konwencje te prowadzą do dodania dużej liczby nawiasów do zapisu. Dlatego symbole \(\times\!\!\!_\cdot\;\), ❗ oznaczają odpowiednio mnożenie i silnię wiążące słabiej niż dodawanie i odejmowanie. W notatkach wystarczy zastąpić kropkę wykrzyknika przez mały okrąg.

\(\frac{1}{(x-a)(x-b)\;\;\;}=\frac{1}{x-a \times\!\!_\cdot\; x-b\;\;\;}\)
\(\left(\begin{smallmatrix}n-i\\k-i\end{smallmatrix}\right)= \frac{(n-i)!}{(k-i)!(n-k)!\;\;\;}=\frac{n-i❗}{k-i❗\;n-k❗\;\;\;}\)

Elipsy

Pewne zapisy związane z liczbą 1 powtarzają się tak często, że można w nich tę liczbę pominąć. W ten sposób \(n+\) oznacza następnik \(n\), a \(n-\) poprzednik \(n\), a właściwie liczby o 1 większą i o 1 mniejszą niż \(n\).

Dalej ułamek \(\frac{1}{n}\) można zapisać jako \(\frac{}{n}\), o ile nie grozi to pomyleniem ze sprzężeniem zespolonym liczby \(n\).

Czynniki typu \((-1)^n\) można skrócić w iloczynach do \((-)^n\). Jest to pewne usprawnienie np. przy operowaniu na szeregach przemiennych. Notacja została zaczerpnięta z pracy Error Analysis of Miller's Recurrence Algorithm F. W. J. Olvera.

\(\omega+1=\omega+\)
\(0++=2\)
\(n- \times\!\!\!_\cdot\;\; n+=n^{\,2}-\)

Językowe

Symbole językowe służą przyspieszeniu notowania tekstu matematycznego, więc można by nazwać je także symbolami stenograficznymi. Poniższej zestawienie symboli z zastępowanymi przez nie słowami. Przy braku małych liter blokowych można użyć małych pogrubionych liter.

\(\cdot\)„jest”, „być”
\(\overline{\cdot}\)„ma”, „mieć”
:„że”
ɐ„każdy”
ə„pewien”
ƒ„funkcja”
ç„ciąg”
¢„stała”
\(\geq n\)„co najmniej \(n\)”, analogicznie „co najwyżej \(n\)”
\(=n\)„dokładnie \(n\)”
\(\mathbb{n}\) (małe \(\mathbb{N}\))  „liczba naturalna”, analogicznie inne małe litery blokowe
„możliwe”
@„przykład”, „uwaga”
\(\odot\)„dane”, „wejście”
\(\otimes\)„wynik”, „wyjście”
A„algorytm”
M„metoda”
T„twierdzenie”
L„lemat”
F„fakt”
D„definicja”
\(\downharpoonright\) (odwr. 1)„ostatni”
wypełnione A„analogicznie”
¬⚡„nie wprost” (metoda dowodzenia)
\(\underline{↓}\)„indukcja matematyczna”
\(\underline{↓}\!0\)„baza indukcji”
\(\underline{↓}\,!\)„założenie indukcyjne”
\(\underline{↓}↓\)„krok indukcyjny”

Słowo „dowód” zostało wyparte przez ∵, po którym następuje otwarcie bloku zawierającego dowód.

Symbole ɐ i ə można rozwinąć do postaci kwantyfikatorów. Wystarczy wprowadzić nową zmienną, wystąpienie symbolu zastąpić jej nazwą, a tuż za ostatnim wiążącym to zdanie kwantyfikatoram dostawić kwantyfikator wiążący nową zmienną. Warto zauważyć, że skutkuje to utratą graficznej symetrii symbolu =.

Symbol þ przed innym symbolem oznacza liczbę mnogą. Idąc za konwencją języków obiektowych, gdzie . oznacza odwołanie się do pola obiektu, ten sam symbol służy tworzeniu wyrazów dzierżawczych.

\(ɐ\mathbf{n}=ə\mathbf{r} \; \equiv \; \forall n\in\mathbb{N}\;\; n=ə\mathbf{r} \; \equiv \; \forall n\in\mathbb{N}\;\; \exists r\in\mathbb{R}\;\;n=r\)
\(ɐ\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}\) ⋮ \(ɐ\mathbf{n}\in\mathbb{R}\) ⋮ \(ɐ\mathbf{n}=ə\mathbf{r}\) ⋮ \(\neg(ə\mathbf{r}=ɐ\mathbf{n})\) ⋮ \(ə\mathbf{r}\cdot\mathbf{n}\)
Pitagoras.T

Strukturalne

Tekst może być podzielony na mniejsze części zgodnie z jakąś logiką. Symbol § oznacza sekcję, a zwykle jej początek, a ¶ podobnie oznacza akapit, paragraf.

Jeśli tekst jest podzielony dwoma liniami, jedną ciągłą, a drugą przerywaną, to najpierw należy przeczytać tekst po stronie linii ciągłej.

Inne

W rozważaniu procesów możemy oznaczać zmienne w danym czasie z indeksem dolnym oznaczającym odpowiednią chwilę. Jeśli w indeksie pojawia się ω, oznacza ostateczną w danym sensie wartość tej zmiennej.

Zapis \([x_i]_{i=0}^n\) oznacza wektor/listę o elementach \(x_i\), gdzie \(i\) przebiega liczby całkowite od \(0\) do \(n\). Analogicznie \([a_{i,j}]_{i=0}^n{\phantom{]}}_{j=0}^m\) oznacza macierz wymiaru \(n\times m\).

Najczęściej używanym kolorom przyporządkowane kolejne cyfry. Odpowiednio 0 oznacza czarny, 1 biały, 2 żółty, 3 czerwony, 4 niebieski, 5 zielony, 6 fioletowy, 7 błękitny, 8 pomarańczowy.

© MMXI–MMXVIII Tomasz Jan Drab
observations notations